已知：如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,点M是边AC上一动点（与点A、C不重合）,点N在边CB的延长线上,且AM=BN,联结MN交边AB于点P（1）求证：MP=NP（2）若设AM=x,BP=y,求y与x之间的函数关系式,并写出它

Question

已知：如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,点M是边AC上一动点（与点A、C不重合）,点N在边CB的延长线上,且AM=BN,联结MN交边AB于点P
（1） 求证：MP=NP
（2） 若设AM=x,BP=y,求y与x之间的函数关系式,并写出它的定义域.
（3） 当△BPN是等腰三角形时,求AM的长.已知：如图,在△ABC中,∠C=90°,

Answer 1

(1)如图,过点M作ME ∥CB,交AB于点E,
∵ △ABC等腰直角三角形,∠A=∠CBA=45°,
∴∠A=∠MEA=45°,MA=ME,
∵AM=BN,
∴BN=ME,
∵∠PME=∠BNP,∠MPE=∠BPN,
∴△MEP≌△BNP（AAS）,
∴MP=NP；
（2)∵AM=x,BP=y,AC=BC=4,
     ∴AE=√2 X,AB=4√2,BP=EP=y,
   ∴y=1/2（AB-AE）
      =1/2（4√2-√2 X）
      =2√2 -√2 / 2  X,
    ∵点M是边AC上一动点（与点A、C不重合）,
    ∴x 的最值范围是：0＜X＜4；
（3）当△BPN是等腰三角形时,
    ∵BP=BN=AM,即 x = y,
    ∴x = 2√2－√2/2 X,
      ∴AM = x = 4/（1+√2）=4√2 - 4.