（2011•眉山二模）设椭圆M：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的离心率为74，点A（0，a），B（-b，0），原点O到直线AB的距离为125，P是椭圆的右顶点，直线l：x=my-n与椭圆M相交于C，D两点，且PC⊥PD．（Ⅰ）

Question

（2011•眉山二模）设椭圆M：(y2)/(a2)+(x2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(7))/(4)，点A（0，a），B（-b，0），原点O到直线AB的距离为(12)/(5)，P是椭圆的右顶点，直线l：x=my-n与椭圆M相交于C，D两点，且

PC

⊥

PD

．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证：直线l的横截距n为定值．

Answer 1

（Ⅰ）由e²=(c2)/(a2)=(a2−b2)/(a2)=1-(b2)/(a2)=(7)/(16)，得a=(4)/(3)b （2分）
由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为(x)/(−b)+(y)/(a)=1，即l_AB：4x-3y+4b=0
又原点O到直线AB的距离(|0+0+4b|)/(|√(42+32))=(4)/(5)b=(12)/(5)，∴b=3，（4分）
∴b²=9，a²=16
从而椭圆M的方程为：(y2)/(16)+(x2)/(9)=1．（5分）
（Ⅱ）易知P（3，0），设C（x₁，y₁），（x₂，y₂），将x=my+n代入(y2)/(16)+(x2)/(9)=1化简整理得
（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0
则y₁+y₂=(−32mn)/(16m2+9)，y₁y₂=(16n2−144)/(16m2+9)．（8分）
而

作业帮用户 2017-11-11

问题解析

（Ⅰ）由e²=(c2)/(a2)=(a2−b2)/(a2)=1-(b2)/(a2)=(7)/(16)，得a=(4)/(3)b，由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为(x)/(−b)+(y)/(a)=1，再由点O到直线AB的距离(|0+0+4b|)/(|√(42+32))=(4)/(5)b=(12)/(5)，知b=3，由此能够得到椭圆M的方程．
（Ⅱ）P（3，0），设C（x₁，y₁），（x₂，y₂），将x=my+n代入(y2)/(16)+(x2)/(9)=1，得（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0，则y₁+y₂=(−32mn)/(16m2+9)，y₁y₂=(16n2−144)/(16m2+9)．由

PC

•

PD

=0，知（x₁-3）•（x₂-3）+y₁y₂=0，由x₁=my₁+nn，x₂=my₂+nn，知（my₁+n-3）•（my₂+n-3）+y₁y₂=0，由此能够证明直线l的横截距n为定值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题考查椭圆方程的求法和直线l的横截距n为定值的证明，解题时要注意椭圆性质的灵活运用和合理地进行等价转化．

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