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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点

题目详情
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？




▼优质解答
答案和解析
（1）证明：∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，
∴∠HDQ=∠A，
∴△DHQ∽△ABC．
（2）①如图1，当0＜x≤
5
4
时，
ED=5-4x，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（5-4x）×
3
4
x=-
3
2
x2+
15
8
x，
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
ED=4x-5，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（4x-5）×
3
4
x=
3
2
x2-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
5
4
555444时，
ED=5-4x，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（5-4x）×
3
4
x=-
3
2
x2+
15
8
x，
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
ED=4x-5，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（4x-5）×
3
4
x=
3
2
x2-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
3
4
333444x，
此时y=
1
2
（5-4x）×
3
4
x=-
3
2
x2+
15
8
x，
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
ED=4x-5，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（4x-5）×
3
4
x=
3
2
x2-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
1
2
111222（5-4x）×
3
4
x=-
3
2
x2+
15
8
x，
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
ED=4x-5，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（4x-5）×
3
4
x=
3
2
x2-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
3
4
333444x=-
3
2
x2+
15
8
x，
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
ED=4x-5，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（4x-5）×
3
4
x=
3
2
x2-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
3
2
333222x2+
15
8
x，
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
ED=4x-5，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（4x-5）×
3
4
x=
3
2
x2-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形． 2+
15
8
x，
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
ED=4x-5，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（4x-5）×
3
4
x=
3
2
x2-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
15
8
151515888x，
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
ED=4x-5，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（4x-5）×
3
4
x=
3
2
x2-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
5
4
555444＜x≤
5
2
时，
ED=4x-5，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（4x-5）×
3
4
x=
3
2
x2-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
5
2
555222时，
ED=4x-5，QH=AQtanA=
3
4
x，
此时y=
1
2
（4x-5）×
3
4
x=
3
2
x2-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
3
4
333444x，
此时y=
1
2
（4x-5）×
3
4
x=
3
2
x2-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
1
2
111222（4x-5）×
3
4
x=
3
2
x2-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
3
4
333444x=
3
2
x2-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
3
2
333222x22-
15
8
x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
15
8
151515888x，

（3）①如图1，当0＜x＜
5
4
时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
5
4
555444时，
若DE=DH，∵DH=AH=
QA
cosA
=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
QA
cosA
QAQAQAcosAcosAcosA=
5
4
x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
5
4
555444x，DE=10-4x，
∴5-4x=
5
4
x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
5
4
555444x，x=
15
16
．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
15
16
151515161616．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当
5
4
＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
5
4
555444＜x≤
5
2
时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
5
2
555222时，
若DE=DH，4x-5=
5
4
x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
5
4
555444x，x=
20
21
；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
20
21
202020212121；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=
5
2
；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
5
2
555222；
若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A=∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴
ED
DH
=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
ED
DH
EDEDEDDHDHDH=
DH
AD
，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
DH
AD
DHDHDHADADAD，x=
160
103
，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
160
103
160160160103103103，
∴当x的值为
15
16
，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
15
16
151515161616，
25
16
，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
25
16
252525161616，
5
2
，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
5
2
555222，
160
103
时，△HDE是等腰三角形．
160
103
160160160103103103时，△HDE是等腰三角形．
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