求一切实数k，使关于x的方程：5x2-5kx+66k-1=0的两根均为正整数．

Question

求一切实数k，使关于x的方程：5x²-5kx+66k-1=0的两根均为正整数．

Answer 1

假设方程有两个正整数根，设为x₁、x₂．
根据根与系数的关系可得：x₁+x₂=-(−5k)/(5)=k，x₁•x₂=(66k−1)/(5)=13k+(k−1)/(5)．
∵x₁、x₂都是正整数，∴k、13k+(k−1)/(5)都是正整数，
∴(k−1)/(5)是整数．
设(k−1)/(5)=n，则有k=5n+1，n为整数，
∴x₁+x₂=5n+1，n为整数．
∵5n+1（n为整数）是奇数，
∴正整数x₁与x₂一奇一偶，
∴x₁•x₂是偶数，
与x₁•x₂=13（5n+1）+n=66n+13是奇数矛盾．
∴假设不成立．
∴满足要求的实数k不存在．