如图，平面直角坐标系的单位是厘米，直线AB的解析式为y=3x-63，分别与x轴y轴相交于A、B两点．动点C从点B出发沿射线BA以3cm/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1cm的⊙C．（1）求A、B两点的

Question

如图，平面直角坐标系的单位是厘米，直线AB的解析式为y=√(3)x-6√(3)，分别与x 轴y轴相交于A、B 两点．动点C从点B出发沿射线BA以3cm/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1cm的⊙C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设⊙C运动的时间为t，当⊙C和坐标轴相切时，求时间t的值．
（3）在点C运动的同时，另有动点P以2cm/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l垂直于x轴．若点C与点P同时分别从点B、点O开始运动，求直线l与⊙C所有相切时点P的坐标．

Answer 1

（1）∵直线AB的解析式为y=√(3)x-6√(3)，分别与x 轴y轴相交于A、B 两点．
∴当x=0时，y=-6√(3)，当y=0时，x=6，
∴A（6，0），B（0，-6√(3)）；（2分）

（2）∵A（6，0），B（0，-6√(3)）；
∴OA=6，OB=6√(3)，
∴AB=√(OA2+OB2)=12，
当⊙C与y轴相切时，设切点为D，连接CD，
则CD⊥y轴，
∴CD∥OA，
∴△BCD∽△BAO，
∴CD：OA=BC：AB，
即1：6=BC：12，
∴BC=2，
∵动点C从点B出发沿射线BA以3cm/秒的速度运动，
∴t=(2)/(3)；（4分）
当⊙C与x轴相切，且在x轴下方时，
设切点为E，连接CE，则CE⊥x轴，
∴CE∥OB，
∴△AEC∽△AOB，
∴EC：OB=AC：AB，
即1：6√(3)=AC：12，
解得：AC=(2)/(3)√(3)，
∴BC=AC-EC=12-(2)/(3)√(3)，
∴t=4-(2)/(9)√(3)；
当⊙C与x轴相切，且在x轴上方时，BC=12+(2)/(3)√(3)，
∴t=4+(2)/(9)√(3)；（8分）
综上t=(2)/(3)或t=4-(2)/(9)√(3)或t=4+(2)/(9)√(3)；

（3）∵在Rt△AOB中，tan∠OBA=(OA)/(OB)=(√(3))/(3)，
∴∠OBA=30°，
∵动点C从点B出发沿射线BA以3cm/秒的速度运动，
∴⊙C沿x轴正方向的速度为每秒1.5cm，
①第一次相切时，2t-1.5t=1，得：t=2，P₁（4，0）；（9分）
②第二次相切  2t+1.5t+1=12，得t=(22)/(7)，P₂（(40)/(7)，0）；（10分）
③第三次相切  2t+1.5t-1=12，得t=(26)/(7)，P₃（(32)/(7)，0）；（11分）
④第四次相切  2t-12+1=1.5t，得t=22，
∵t≤(6+1)/(1.5)，即t≤(14)/(3)，
∴t=22＞(14)/(3)（不符合题意舍去）；（12分）
综上：p₁（4，0）或P₂（(40)/(7)，0）或P₃（(32)/(7)，0）．