已知：在△ABC中，∠BAC=60°．（1）如图1，若AB=AC，点P在△ABC内，且PB=5，PA=3，PC=4，直接写出∠APC的度数．（2）如图2，若AB=AC，点P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数；（3）如图3，

Question

已知：在△ABC中，∠BAC=60°．
（1）如图1，若AB=AC，点P在△ABC内，且PB=5，PA=3，PC=4，直接写出∠APC的度数．
（2）如图2，若AB=AC，点P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数；
（3）如图3，若AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=√(3)，PB=5，∠APC=120°，直接写出PC的长．

Answer 1

（1）把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连结DP．

由旋转可知AD=AP，BD=PC，∠DAB=∠PAC，
∴∠DAP=∠BAC=60°，
∴△ADP为等边三角形，
∴DP=PA=3，∠ADP=60°，
∵PB=5，BD=PC=4，PD=3，
∴PD²+BD²=PB²
∴∠BDP=90°，
∴∠APC=∠ADB=∠ADP+∠PDB=60°+90°=150°．

（2）如图2，

把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，连接PD，
∴△APC≌△ADB，
∴AD=AP=3，DB=PC=4，∠PAC=∠DAB，∠APC=∠2，
∴∠DAP=∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAP=60°，
∴△DAP是等边三角形，
∴PD=3，∠1=60°，
∴PD²+DB²=3²+4²=5²=PB²，
∴∠PDB=90°，
∴∠2=30°，
∴∠APC=30°；

（3）如图3

作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，则△ABQ∽△ACP，
∴∠AQB=∠APC=120°，
∵AB=2AC，
∴△ABQ与△ACP相似比为2，
∴AQ=2AP=2√(3)，BQ=2CP，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，
∵(AQ)/(AP)=2，
∴∠APQ=90°，PQ=3，
∴∠AQP=30°
∴∠BQP=∠AQB-∠AQP=120°-30°=90°，
根据勾股定理得，BQ=√(PB2-PQ2)=4，
∴PC=(1)/(2)BQ=2．