已知［x+根号（x^2＋2002）］［y+根号（y^2＋2002）］＝2002求x^2-3xy-4y^2-6x-6y+58的值

Question

已知［x+根号（x^2＋2002）］［y+根号（y^2＋2002）］＝2002 求x^2-3xy-4y^2-6x-6y+58的值

Answer 1

因为
[x+根号下(x^2+2002)]*[y+根号下(y^2+2002)]
={-2002/[x-根号下（x^2+2002)]}*[y+根号下(y^2+2002)]…（1）
=2002 （容易证明对于一切实数x都有：x-根号下（x^2+2002)非零）
整理（1）式,得:
x+y=根号下(x^2+2002)-根号下(y^2+2002)
=[(x+y)*(x-y)]/[根号下(x^2+2002)+根号下（y^2+2002)]
即(x+y)*(1-{(x-y)/[根号下(x^2+2002)+根号下（y^2+2002)]}) = 0
所以x+y=0...(2),或(x-y)/[根号下(x^2+2002)+根号下（y^2+2002)]=1...(3)
假设(3)成立,
则x-根号下(x^2+2002)=y+根号下(y^2+2002)=-2002/[x+根号下(x^2+2002)],
即[x+根号下(x^2+2002）][y+根号（y^2+2002）]=-2002
与已知矛盾,所以假设不成立
综上由已知只能得出x+y=0
所以欲求式=x^2-3xy-4*y^2-6x-6y+58
=(x-4y)*(x+y)-6(x+y)+58
=(x+y)*(x-4y-6)+58
=0+58
=58