(a^2+b^2-c^2)/2ab+(b^2+c^2-a^2)/2bc+（a^2+c^2-b^2）/2ac=1,求证：[(a^2+b^2-c^2)/2ab]^2003+[(b^2+c^2-a^2)/2bc]^2003+[(c^2+a^2-b^2)/2ac]^2003=1

Question

(a^2+b^2-c^2)/2ab+(b^2+c^2-a^2)/2bc+（a^2+c^2-b^2）/2ac=1,求证：[(a^2+b^2-c^2)/2ab]^2003+
[(b^2+c^2-a^2)/2bc]^2003+[(c^2+a^2-b^2)/2ac]^2003=1

Answer 1

两边乘2abc
c(a^2+b^2-c^2)+a(b^2+c^2-a^2)+b（a^2+c^2-b^2）=2abc
c(a^2+b^2-c^2)+2abc+a(b^2+c^2-a^2)-2abc+b（a^2+c^2-b^2)-2abc=0
c(a^2+b^2-c^2+2ab)+a(b^2+c^2-a^2-2bc)-2abc+b（a^2+c^2-b^2-2ac)=0
c(a+b+c)(a+b-c)+a(b-c-a)(b-c+a)+b(a-c+b)(a-c-b)=0
(a+b-c)(ac+bc+c²+ab-bc-b²)+a(b-c-a)(b-c+a)=0
(a+b-c)(a-b+c)(b+c)+a(b-c-a)(b-c+a)=0
(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=0
若a+b-c=0
(a+b-c)(a+b+c)=0
a²+2ab+b²-c²=0
所以(a²+b²-c²)/2ab=-1
同理(b²+c²-a²)/2bc=1
(c²+a²-b²)/2ac=1
所以求证的=1
同理
a-b+c=0或b+c-a=0也可以得到同样结论