如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE=C

Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．

（1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；
（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：
①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；
②若CE=4，CF=2，求DN的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，
∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，
∴∠DCE=∠DCF=135°，
在△DCE与△DCF中，

CE=CF

∠DCE=∠DCF

CD=CD

，
∴△DCE≌△DCF，
∴DE=DF；
（2） ①∵∠DCF=∠DCE=135°，
∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°，
∵∠CDF+∠CDE=45°，
∴∠F=∠CDE，
∴△CDF∽△CED，
∴(CD)/(CE)=(CF)/(CD)，
即CD²=CE•CF，
∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，
∴CD=(1)/(2)AB，
∴AB²=4CE•CF；
②如图，过D作DG⊥BC于G，
则∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，
当CE=4，CF=2时，
由CD²=CE•CF得CD=2√(2)，
∴在Rt△DCG中，CG=DG=CD•sin∠DCG=2√(2)×sin45°=2，
∵∠ECN=∠DGN，∠ENC=∠DNG，
∴△CEN∽△GDN，
∴(CN)/(GN)=(CE)/(DG)=2，
∴GN=(1)/(3)CG=(2)/(3)，
∴DN=√(GN2+DG2)=√(((2)/(3))2+22)=(2√(10))/(3)．