如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．（1）若E，F分别为AB，AC的中点，求证：EF∥平面BDC；（2）证明：平面ADB⊥平面BDC；（3）设BD=1，求三棱

Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．

（1）若E，F分别为 AB，AC的中点，求证：EF∥平面BDC；
（2）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（3）设BD=1，求三棱锥D-ABC的表面积．

Answer 1

（1）在右图中，因为△ABC中，E、F分别为 AB、AC的中点，．
∴EF∥BC
∵EF⊈平面BDC，BC⊂平面BDC，
∴EF∥平面BDC；
（2）∵左图中，AD是等腰Rt△ABC斜边BC的中线
∴CD⊥AD，在右图中依然成立
又∵右图中，CD⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线
∴CD⊥平面ADB
∵CD⊂平面BDC，∴平面ADB⊥平面BDC；
（3）由（2）知，AD、BD、CD两两垂直
∵BD=1，∴AD=BD=CD=1
∴三角形ADC的面积S_△ADC=(1)/(2)×AD×CD=(1)/(2)，
同理可得S_△BDC=S_△ABD=(1)/(2)
∵Rt△ADC中，AC=√(AD2+CD2)=√(2)，同理可得AB=BC=√(2)
∴△ABC是边长为√(2)的等边三角形，面积为S_△ABC=(√(3))/(4)×(√(2))2=(√(3))/(2)
由此可得三棱锥D-ABC的表面积为：S_△ADC+S_△BDC+S_△ABD+S_△ABC=(3+√(3))/(2)．