如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．

Question

如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF=∠F．
∵∠F=45°，
∴∠DAE=45°．
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠EAB=∠DAE=45°．
∴∠DAB=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．

（2） 如图，过点B作BH⊥AE于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．
∵AB=14，DE=8，
∴CE=6．
在Rt△ADE中，∠DAE=45°，
∴∠DEA=∠DAE=45°．
∴AD=DE=8．
∴BC=8．
在Rt△BCE中，由勾股定理得BE=√(BC2+CE2)=10．
在Rt△AHB中，∠HAB=45°，
∴BH=AB•sin45°=7√(2)．  
∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，
∴sin∠AEB=(BH)/(BE)=(7√(2))/(10)．