如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为（）A.153B.3

Question

如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4

√(3)，则这个圆锥的体积为（　　）

A.

(√(15))/(3)

B.

(32√(35)π)/(27)

C.

(128√(2)π)/(81)

D.

(8√(3))/(3)

Answer 1

作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得cos∠P′OP=(OP2+OP′2-PP′2)/(2OP•OP′)=-(1)/(2)，
∴∠P′OP=(2π)/(3)．设底面圆的半径为r，
则有2πr=(2π)/(3)，解得r=(4)/(3)．
∴这个圆锥的高为h=√(16-(16)/(9))=(8√(2))/(3)，
这个圆锥的体积为V=(1)/(3)Sh=(1)/(3)×πr2×h=(1)/(3)π×(16)/(9)×(8√(2))/(3)=(128√(2)π)/(81)．
故选：C．