已知：如图1，等边△OAB的边长为3，另一等腰△OCA与△OAB有公共边OA，且OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿BO向点O运动，点Q以每秒1个单位

Question

已知：如图1，等边△OAB的边长为3，另一等腰△OCA与△OAB有公共边OA，且OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿BO向点O运动，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题：
（1）在运动过程中，△OPQ的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．
（2）在等边△OAB的边上（点A除外），是否存在点D，使得△OCD为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有___个．
（3）如图2，现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着点C旋转，使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1，∵OC=AC，∠ACO=120°，
∴∠AOC=∠OAC=30°．
∴∠POQ=90°，
∵OQ=t，OP=3-3t．
∴S_△OPQ=(1)/(2)OQ•OP=(1)/(2)t•（3-3t）=-(3)/(2)t²+(3)/(2)t，
即S=-(3)/(2)t²+(3)/(2)t；

（2）如图2，（i）当D点在OA上，
①以D为顶点，D₁C=OD₁，
②以O为顶点，OD₂=OC，
（ii）当D点在OB上，
由于∠BOC=90°，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形，
以O为顶点时，OD₃=OC．
（iii）当D点在AB上时，
此时OD的最短距离为OD⊥AB时，此时OD≠OC，不存在以O为顶点的等腰三角形；
当以C为顶点时，D点和A点重合，
当以D为顶点时，OD₄=CD₄，
综上所述，这样的点D共有4个；
故答案为：4；

（3）△BMN的周长不发生变化．理由如下：
延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图3）
又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，
在△MOC和△FAC中

OC=AC

∠MOC=∠CAF=90°

MO=AF

，
∴△MOC≌△FAC（SAS），
∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．
∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA=∠OCA-∠MCN=60°，
∴∠FCN=∠MCN．
在△MCN和△FCN中，

MC=FC

∠FCN=∠MCN

CN=CN

，
∴△MCN≌△FCN（SAS），
∴MN=NF．
∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=6．
∴△BMN的周长不变，其周长为6．