正实数x,y满足x+2y+4=4xy,且不等式(x+2y)a²+2a+2xy－34≥0恒成立,求a的范围,要具体的过程

Question

正实数x,y满足x+2y+4=4xy,且不等式(x+2y)a²+2a+2xy－34≥0恒成立,求a的范围,要具体的过程

Answer 1

x>0,y>0
x+2y+4=4xy ①
==> x+2y=4xy-4
不等式(x+2y)a²+2a+2xy－34≥0恒成立
即(4xy-4)a²+2a+2xy-34≥0
即 2xy(2a²+1)≥4a²-2a+34恒成立
即xy≥(2a²-a+17)/(2a²+1)恒成立 ②
∵x>0,y>0
∴x+2y≥2√(2xy)
①==>
4xy≥4+2√2*√(xy)
即2xy-√2*√(xy)-2≥0
令√(xy)=t,则xy=t²
∴2t²-√2t-2≥0
解得t≥√2 (舍负）
即√(xy)≥√2 那么xy≥2
②恒成立只需
2≥(2a²-a+17)/(2a²+1)
∴2a²+a-15≥0
解得 a≤-3或a≥5/2
即a的取值范围是(-∞,-3]U[5/2,+∞)