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N的4K+1次方-N为何是10的倍数?
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N的4K+1次方-N为何是10的倍数?
▼优质解答
答案和解析
先证明n^5-n一定是10 的倍数
再用数学归纳法证明n^(4k+1)-n也是10的倍数
n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
显然n,n-1中必有一个数是偶数 所以n^5-1是2的倍数
下面分情况讨论
n=5t 5t+1 5t+2 5t+3 5t+4 都能得到n^5-n 是5的倍数
而(2,5)互质 所以n^5-n是10 的倍数
所以当k=1时成立
假设当k=r时成立 即n^(4r+1)-n=10s
则当k=r+1 时 n^(4r+4+1)-n=(n^4r+1-n)*n^4+(n^5-n)
=n^4*10s+n^5-n
由于n^5-n是10的倍数
所以当k=r+1时也成立
再用数学归纳法证明n^(4k+1)-n也是10的倍数
n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
显然n,n-1中必有一个数是偶数 所以n^5-1是2的倍数
下面分情况讨论
n=5t 5t+1 5t+2 5t+3 5t+4 都能得到n^5-n 是5的倍数
而(2,5)互质 所以n^5-n是10 的倍数
所以当k=1时成立
假设当k=r时成立 即n^(4r+1)-n=10s
则当k=r+1 时 n^(4r+4+1)-n=(n^4r+1-n)*n^4+(n^5-n)
=n^4*10s+n^5-n
由于n^5-n是10的倍数
所以当k=r+1时也成立
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