计算：1*2*3*4*5.*3000乘积尾数有多少个0?

Question

计算：1*2*3*4*5.*3000乘积尾数有多少个0?

Answer 1

这个“乘积”问题实质上考的是“质数与合数”的知识点
本题目所涉及的几个数学定理包括
一、质数是指仅有1和它本身两个约数的自然数,像2、3、5
二、合数是指除了1和它本身以外,还有其它约数的自然数,像4、6、8
三、1既不是质数也不是合数
四、整数A能被整数B整除,A叫做B的倍数,B就叫做A的因数
1×2×3×4×5×…×3000的积的尾数有几个0?
假设M=1×2×3×4×5×…×3000
因为2×5＝10,所以末尾的零只能由中的质因数2与5相乘得到.
因此,只需计算一下,把M分解成质因数的连乘积以后,有多少个质因数2,有多少个质因数5,其中哪一个的个数少,M的末尾就有多少个连续的零.
解 先计算M中质因数是5的个数.
在1,2,3,…,2998,2999,3000中,3000/5=600
即有600个5的倍数,它们是：5,10,15,…,3000.
在这600个数中3000/25=120,即有120个中,能被25整除,它们是25,50,75,…,3000.
在这120个数中3000/125=24,即有24个能被125整除,它们是125,250,375,…,3000.
在这24个数中3000/625=4,有4个能被625整除,它是625,1250,1875,2500.
所以,M中的质因数5的个数等于600 120 24 4=748
而M中的质因数2的个数,显然多于质因数5的个数.
所以,1×2×3×4×5×…×3000中,末尾连续有748个零.