三角函数两角和,两角差公式推到过程,

Question

三角函数两角和,两角差公式推到过程,

Answer 1

向量法：

取直角坐标系,作单位圆
取一点A,连接OA,与X轴的夹角为A 取一点B,连接OB,与X轴的夹角为B OA与OB的夹角即为A-B A（cosA,sinA),B(cosB,sinB) OA=(cosA,sinA) OB=(cosB,sinB) OA*OB
=|OA||OB|cos(A-B) =cosAcosB+sinAsinB |OA|=|OB|=1
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
在直角坐标系xoy中,作单位圆O,并作角α,β,-β,使角α的始边为Ox交⊙O于P1,终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4.依三角函数的定义,得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1（1,0）,P2（cosα,sinα）、P3（cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3,P2P4. 则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式,得
∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2,
∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2

∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2
展开整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α,β均成立
在公式Cα+β中,用-β替代β.
cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α,β均成立.