奇函数f（x）=m-g(x)n+g(x)的定义域为R，其中y=g（x）为指数函数，且过点（2，9）（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（Ⅲ）若对任意t∈[0，5]，不等式f（t2+

Question

奇函数f（x）=(m-g(x))/(n+g(x))的定义域为R，其中y=g（x）为指数函数，且过点（2，9）
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（Ⅲ）若对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0恒成立，求实数k的取值范围．(m-g(x))/(n+g(x))的定义域为R，其中y=g（x）为指数函数，且过点（2，9）
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（Ⅲ）若对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0恒成立，求实数k的取值范围．(m-g(x))/(n+g(x))m-g(x)n+g(x)m-g(x)m-g(x)n+g(x)n+g(x)


²²

Answer 1

（Ⅰ）设g（x）=a^xx，过点（2，9），∴a=3，
∵奇函数f（x）=(m-g(x))/(n+g(x))的定义域为R，
∴f（-x）=(m-3-x)/(n+3-x)=-(m-3x)/(n+3x)，
∴m=1，n=1，
∴f（x）=(1-3x)/(1+3x)；
（Ⅱ）函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数．
f（x）=(1-3x)/(1+3x)=-1+(2)/(1+3x)
设x₁<x₂，则有f（x₁）-f（x₂）=(2)/(1+3x1)-(2)/(1+3x2)=2•(3x2-3x1)/((1+3x1)(1+3x2))>0，
∴f（x₁）>f（x₂）
∴函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数；
（Ⅲ）不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0，可化为t²+2t+k<2t²-2t+5
即k<t²-4t+5=（t-2）²+1
∵对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0恒成立，
∴k<1． (m-g(x))/(n+g(x))m-g(x)n+g(x)m-g(x)m-g(x)m-g(x)n+g(x)n+g(x)n+g(x)的定义域为R，
∴f（-x）=(m-3-x)/(n+3-x)=-(m-3x)/(n+3x)，
∴m=1，n=1，
∴f（x）=(1-3x)/(1+3x)；
（Ⅱ）函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数．
f（x）=(1-3x)/(1+3x)=-1+(2)/(1+3x)
设x₁<x₂，则有f（x₁）-f（x₂）=(2)/(1+3x1)-(2)/(1+3x2)=2•(3x2-3x1)/((1+3x1)(1+3x2))>0，
∴f（x₁）>f（x₂）
∴函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数；
（Ⅲ）不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0，可化为t²+2t+k<2t²-2t+5
即k<t²-4t+5=（t-2）²+1
∵对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0恒成立，
∴k<1． (m-3-x)/(n+3-x)m-3-xn+3-xm-3-xm-3-xm-3-x-xn+3-xn+3-xn+3-x-x=-(m-3x)/(n+3x)，
∴m=1，n=1，
∴f（x）=(1-3x)/(1+3x)；
（Ⅱ）函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数．
f（x）=(1-3x)/(1+3x)=-1+(2)/(1+3x)
设x₁<x₂，则有f（x₁）-f（x₂）=(2)/(1+3x1)-(2)/(1+3x2)=2•(3x2-3x1)/((1+3x1)(1+3x2))>0，
∴f（x₁）>f（x₂）
∴函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数；
（Ⅲ）不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0，可化为t²+2t+k<2t²-2t+5
即k<t²-4t+5=（t-2）²+1
∵对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0恒成立，
∴k<1． (m-3x)/(n+3x)m-3xn+3xm-3xm-3xm-3xxn+3xn+3xn+3xx，
∴m=1，n=1，
∴f（x）=(1-3x)/(1+3x)；
（Ⅱ）函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数．
f（x）=(1-3x)/(1+3x)=-1+(2)/(1+3x)
设x₁<x₂，则有f（x₁）-f（x₂）=(2)/(1+3x1)-(2)/(1+3x2)=2•(3x2-3x1)/((1+3x1)(1+3x2))>0，
∴f（x₁）>f（x₂）
∴函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数；
（Ⅲ）不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0，可化为t²+2t+k<2t²-2t+5
即k<t²-4t+5=（t-2）²+1
∵对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0恒成立，
∴k<1． (1-3x)/(1+3x)1-3x1+3x1-3x1-3x1-3xx1+3x1+3x1+3xx；
（Ⅱ）函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数．
f（x）=(1-3x)/(1+3x)=-1+(2)/(1+3x)
设x₁<x₂，则有f（x₁）-f（x₂）=(2)/(1+3x1)-(2)/(1+3x2)=2•(3x2-3x1)/((1+3x1)(1+3x2))>0，
∴f（x₁）>f（x₂）
∴函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数；
（Ⅲ）不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0，可化为t²+2t+k<2t²-2t+5
即k<t²-4t+5=（t-2）²+1
∵对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0恒成立，
∴k<1． (1-3x)/(1+3x)1-3x1+3x1-3x1-3x1-3xx1+3x1+3x1+3xx在R上是单调递减函数．
f（x）=(1-3x)/(1+3x)=-1+(2)/(1+3x)
设x₁<x₂，则有f（x₁）-f（x₂）=(2)/(1+3x1)-(2)/(1+3x2)=2•(3x2-3x1)/((1+3x1)(1+3x2))>0，
∴f（x₁）>f（x₂）
∴函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数；
（Ⅲ）不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0，可化为t²+2t+k<2t²-2t+5
即k<t²-4t+5=（t-2）²+1
∵对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0恒成立，
∴k<1． (1-3x)/(1+3x)1-3x1+3x1-3x1-3x1-3xx1+3x1+3x1+3xx=-1+(2)/(1+3x)
设x₁<x₂，则有f（x₁）-f（x₂）=(2)/(1+3x1)-(2)/(1+3x2)=2•(3x2-3x1)/((1+3x1)(1+3x2))>0，
∴f（x₁）>f（x₂）
∴函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数；
（Ⅲ）不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0，可化为t²+2t+k<2t²-2t+5
即k<t²-4t+5=（t-2）²+1
∵对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0恒成立，
∴k<1． (2)/(1+3x)21+3x2221+3x1+3x1+3xx
设x₁122，则有f（x₁1）-f（x₂2）=(2)/(1+3x1)-(2)/(1+3x2)=2•(3x2-3x1)/((1+3x1)(1+3x2))>0，
∴f（x₁）>f（x₂）
∴函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数；
（Ⅲ）不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0，可化为t²+2t+k<2t²-2t+5
即k<t²-4t+5=（t-2）²+1
∵对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0恒成立，
∴k<1． (2)/(1+3x1)21+3x12221+3x11+3x11+3x1x11-(2)/(1+3x2)=2•(3x2-3x1)/((1+3x1)(1+3x2))>0，
∴f（x₁）>f（x₂）
∴函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数；
（Ⅲ）不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0，可化为t²+2t+k<2t²-2t+5
即k<t²-4t+5=（t-2）²+1
∵对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0恒成立，
∴k<1． (2)/(1+3x2)21+3x22221+3x21+3x21+3x2x22=2•(3x2-3x1)/((1+3x1)(1+3x2))>0，
∴f（x₁）>f（x₂）
∴函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数；
（Ⅲ）不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0，可化为t²+2t+k<2t²-2t+5
即k<t²-4t+5=（t-2）²+1
∵对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0恒成立，
∴k<1． (3x2-3x1)/((1+3x1)(1+3x2))3x2-3x1(1+3x1)(1+3x2)3x2-3x13x2-3x13x2-3x1x2-3x12-3x1x11(1+3x1)(1+3x2)(1+3x1)(1+3x2)(1+3x1)(1+3x2)x1)(1+3x2)1)(1+3x2)x2)2)>0，
∴f（x₁1）>f（x₂2）
∴函数f（x）=(1-3x)/(1+3x)在R上是单调递减函数；
（Ⅲ）不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0，可化为t²+2t+k<2t²-2t+5
即k<t²-4t+5=（t-2）²+1
∵对任意t∈[0，5]，不等式f（t²+2t+k）+f（-2t²+2t-5）>0恒成立，
∴k<1． (1-3x)/(1+3x)1-3x1+3x1-3x1-3x1-3xx1+3x1+3x1+3xx在R上是单调递减函数；
（Ⅲ）不等式f（t²2+2t+k）+f（-2t²2+2t-5）>0，可化为t²2+2t+k<2t²2-2t+5
即k22-4t+5=（t-2）²2+1
∵对任意t∈[0，5]，不等式f（t²2+2t+k）+f（-2t²2+2t-5）>0恒成立，
∴k<1．