函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0都有f（xy）=f（x）-f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并加以证明；（3）若f（4）=2，求f（x

Question

函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0都有f（(x)/(y)）=f（x）-f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并加以证明；
（3）若f（4）=2，求f（x）在[1，16]上的值域．

Answer 1

（1）∵当x＞0，y＞0时，f((x)/(y))=f（x）-f（y），
∴令x=y＞0，则f（1）=f（x）-f（x）=0，
∴f（1）=0；
（2）f（x）在（0，+∞）上是递增函数．
证明：设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∵f（(x)/(y)）=f（x）-f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f((x2)/(x1))，
∵x₂＞x₁＞0，
∴(x2)/(x1)＞1，
∵当x＞1时，有f（x）＞0，
∴f((x2)/(x1))＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）由（2）可知，f（x）在[1，16]上是增函数，
∴f （x）_min=f（1）=0，f（x）_max=f（16），
∵f（4）=2，且f((x)/(y))=f（x）-f（y），
∴f((16)/(4))=f（16）-f（4），
∵f（4）=2，
∴f（16）=2f（4）=4，
∴f （x）_min=0，f（x）_max=4，
∴f（x）在[1，16]上的值域为[0，4]．