X^3-16X^2-16=0有解么,

Question

X^3-16X^2-16=0有解么,

Answer 1

x^3-16x^2-16=0
令y=x^3-16x^2-16
y对x求导
y'=3x^2-32x
y'=0时,3x^2-32x=0
x(3x-32)=0
x1=0,x2=32/3
这两个点对应着图像上切向水平的两个点,是极值点.
当x=0时,y=-16,此时y取极大值,y的值小于0
当x=32/3时,y=-16816/27,此时y取极小值,y的值小于0
这两个点对应的y的值都小于0,说明y=x^3-16x^2-16穿过x轴有且仅有一次
所以x^3-16x^2-16=0有且仅有一个实数解
具体求解
参考：
aX^3+bX^2+cX+d=0
A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd
ax^3+bx^2+cx+d=0（a≠0）
为了方便,约去a得到
x^3+kx^2+mx+n=0
令x=y-k/3 ,
代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ,
(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ,
k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ,
所以相加后y^2抵消 ,
得到y^3+py+q=0,
其中p=-k^2/3+m ,
q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n.
方程x^3+px+q=0的三个根为：
x1=A^(1/3)+B^(1/3)；
x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；
x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω.
其中ω=(-1+i√3)/2.