排列j1j2…jn-1jn与排列jnjn-1…j2j1具有相同的奇偶性的充要条件是n≡（mod4）

Question

排列j₁j₂…j_n-1j_n与排列j_nj_n-1…j₂j₁具有相同的奇偶性的充要条件是n≡___（mod4）

Answer 1

由排列j₁j₂…j_n-1j_n经过一次相邻对换之后，变成了j₂j₁j₃…j_n-1j_n，
再经过一次相邻对换之后，变成了j₂j₃j₁…j_n-1j_n，…
经过n-1次相邻对换之后，变成了j_nj₂…j_n-1j₁
由排列j_nj₂…j_n-1j₁经过n-2次相邻对换之后，变成了j_nj_n-1j₃…j_n-3j₂j₁
依此下去，经过（n-1）+（n-2）+…+1=(n(n-1))/(2)次对换之后，变成了j_nj_n-1…j₂j₁
因此，由“一次对换改变排列的奇偶性”和题设条件知
(n(n-1))/(2)≡0(mod2)
即n（n-1）≡0（mod4）
即n≡0或1（mod4）