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在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90度,BC=16,AD=21,DC=12,动点P从点D出发,沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动.点P、Q同

题目详情
在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90度,BC=16,AD=21,DC=12,动点P从点D出发,沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动.点P、Q同时出发,当点P运动到点A时,点Q随之停止运动,设运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,AP=BQ;
(2)当t为何值时,△BPQ的面积和△BPD的面积相等;
(3)当t为何值时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三等形?



▼优质解答
答案和解析
(1)∵PD=2t,∴AP=AD-PD=21-2t,
∵CQ=t,∴BQ=BC-CQ=16-t,
∵AP=BQ,
∴21-2t=16-t,
解得t=5;

(2)∵S△BPQ△BPQ=S△BPD△BPD,△BPQ和△BPD高相等,
∴△BPQ和△BPD的底也相等,即PD=BQ,
则2t=16-t;
解得t=
16
3


(3)如图1,当PB=PQ时,作PE⊥BC于E,
∴EQ=
1
2
BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴EQ=8-
1
2
t,
∴EC=8-
1
2
t+t=8+
1
2
t.
∴2t=8+
1
2
t.
解得:t=
16
3


当PQ=BQ时,如图2,作QE⊥AD于E,
∴∠PEQ=∠DEQ=90°,
∵∠C=∠D=90°,
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°,
∴四边形DEQC是矩形,
∴DE=QC=t,
∴PE=t,QE=CD=12.
在Rt△PEQ中,由勾股定理,得
PQ=
t2+144

16-t=
t2+144

解得:t=
7
2

当BP=PQ时,作PE⊥BC于E,
∴EQ=BE=
1
2
BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴BE=8-
1
2
t,
∴PB=
−8t+
1
4
t2+208

∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
16
3
161616333;

(3)如图1,当PB=PQ时,作PE⊥BC于E,
∴EQ=
1
2
BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴EQ=8-
1
2
t,
∴EC=8-
1
2
t+t=8+
1
2
t.
∴2t=8+
1
2
t.
解得:t=
16
3


当PQ=BQ时,如图2,作QE⊥AD于E,
∴∠PEQ=∠DEQ=90°,
∵∠C=∠D=90°,
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°,
∴四边形DEQC是矩形,
∴DE=QC=t,
∴PE=t,QE=CD=12.
在Rt△PEQ中,由勾股定理,得
PQ=
t2+144

16-t=
t2+144

解得:t=
7
2

当BP=PQ时,作PE⊥BC于E,
∴EQ=BE=
1
2
BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴BE=8-
1
2
t,
∴PB=
−8t+
1
4
t2+208

∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
1
2
111222BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴EQ=8-
1
2
t,
∴EC=8-
1
2
t+t=8+
1
2
t.
∴2t=8+
1
2
t.
解得:t=
16
3


当PQ=BQ时,如图2,作QE⊥AD于E,
∴∠PEQ=∠DEQ=90°,
∵∠C=∠D=90°,
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°,
∴四边形DEQC是矩形,
∴DE=QC=t,
∴PE=t,QE=CD=12.
在Rt△PEQ中,由勾股定理,得
PQ=
t2+144

16-t=
t2+144

解得:t=
7
2

当BP=PQ时,作PE⊥BC于E,
∴EQ=BE=
1
2
BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴BE=8-
1
2
t,
∴PB=
−8t+
1
4
t2+208

∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
1
2
111222t,
∴EC=8-
1
2
t+t=8+
1
2
t.
∴2t=8+
1
2
t.
解得:t=
16
3


当PQ=BQ时,如图2,作QE⊥AD于E,
∴∠PEQ=∠DEQ=90°,
∵∠C=∠D=90°,
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°,
∴四边形DEQC是矩形,
∴DE=QC=t,
∴PE=t,QE=CD=12.
在Rt△PEQ中,由勾股定理,得
PQ=
t2+144

16-t=
t2+144

解得:t=
7
2

当BP=PQ时,作PE⊥BC于E,
∴EQ=BE=
1
2
BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴BE=8-
1
2
t,
∴PB=
−8t+
1
4
t2+208

∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
1
2
111222t+t=8+
1
2
t.
∴2t=8+
1
2
t.
解得:t=
16
3


当PQ=BQ时,如图2,作QE⊥AD于E,
∴∠PEQ=∠DEQ=90°,
∵∠C=∠D=90°,
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°,
∴四边形DEQC是矩形,
∴DE=QC=t,
∴PE=t,QE=CD=12.
在Rt△PEQ中,由勾股定理,得
PQ=
t2+144

16-t=
t2+144

解得:t=
7
2

当BP=PQ时,作PE⊥BC于E,
∴EQ=BE=
1
2
BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴BE=8-
1
2
t,
∴PB=
−8t+
1
4
t2+208

∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
1
2
111222t.
∴2t=8+
1
2
t.
解得:t=
16
3


当PQ=BQ时,如图2,作QE⊥AD于E,
∴∠PEQ=∠DEQ=90°,
∵∠C=∠D=90°,
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°,
∴四边形DEQC是矩形,
∴DE=QC=t,
∴PE=t,QE=CD=12.
在Rt△PEQ中,由勾股定理,得
PQ=
t2+144

16-t=
t2+144

解得:t=
7
2

当BP=PQ时,作PE⊥BC于E,
∴EQ=BE=
1
2
BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴BE=8-
1
2
t,
∴PB=
−8t+
1
4
t2+208

∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
1
2
111222t.
解得:t=
16
3


当PQ=BQ时,如图2,作QE⊥AD于E,
∴∠PEQ=∠DEQ=90°,
∵∠C=∠D=90°,
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°,
∴四边形DEQC是矩形,
∴DE=QC=t,
∴PE=t,QE=CD=12.
在Rt△PEQ中,由勾股定理,得
PQ=
t2+144

16-t=
t2+144

解得:t=
7
2

当BP=PQ时,作PE⊥BC于E,
∴EQ=BE=
1
2
BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴BE=8-
1
2
t,
∴PB=
−8t+
1
4
t2+208

∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
16
3
161616333.

当PQ=BQ时,如图2,作QE⊥AD于E,
∴∠PEQ=∠DEQ=90°,
∵∠C=∠D=90°,
∴∠C=∠D=∠DEQ=90°,
∴四边形DEQC是矩形,
∴DE=QC=t,
∴PE=t,QE=CD=12.
在Rt△PEQ中,由勾股定理,得
PQ=
t2+144

16-t=
t2+144

解得:t=
7
2

当BP=PQ时,作PE⊥BC于E,
∴EQ=BE=
1
2
BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴BE=8-
1
2
t,
∴PB=
−8t+
1
4
t2+208

∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
t2+144
t2+144
t2+144t2+1442+144.
16-t=
t2+144

解得:t=
7
2

当BP=PQ时,作PE⊥BC于E,
∴EQ=BE=
1
2
BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴BE=8-
1
2
t,
∴PB=
−8t+
1
4
t2+208

∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
t2+144
t2+144
t2+144t2+1442+144,
解得:t=
7
2

当BP=PQ时,作PE⊥BC于E,
∴EQ=BE=
1
2
BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴BE=8-
1
2
t,
∴PB=
−8t+
1
4
t2+208

∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
7
2
777222;
当BP=PQ时,作PE⊥BC于E,
∴EQ=BE=
1
2
BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴BE=8-
1
2
t,
∴PB=
−8t+
1
4
t2+208

∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
1
2
111222BQ,
∵CQ=t,
∴BQ=16-t,
∴BE=8-
1
2
t,
∴PB=
−8t+
1
4
t2+208

∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
1
2
111222t,
∴PB=
−8t+
1
4
t2+208

∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
−8t+
1
4
t2+208
−8t+
1
4
t2+208
−8t+
1
4
t2+208−8t+
1
4
111444t2+2082+208.
∴16-t=
−8t+
1
4
t2+208

解得:t1=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
−8t+
1
4
t2+208
−8t+
1
4
t2+208
−8t+
1
4
t2+208−8t+
1
4
111444t2+2082+208.
解得:t11=16+8
3
,t2=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
3
3
33,t22=16-8
3

∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
3
3
33
∵0<t≤10.5
∴t=16-8
3

综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
3
3
33.
综上所述,t=
16
3
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
16
3
161616333,
7
2
或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
7
2
777222或16-8
3
时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.
3
3
33时以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形.