（2008•成都三模）如图1，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD＝2，∠ABD=90°，E是BD上的一个动点．现将该平行四边形沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，如图2所示．（1）若F、G分别是AD、BC的中点，且AB

Question

（2008•成都三模）如图1，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD＝√(2)，∠ABD=90°，E是BD上的一个动点．现将该平行四边形沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，如图2所示．
（1）若F、G分别是AD、BC的中点，且AB∥平面EFG，求证：CD∥平面EFG；
（2）当图1中AE+EC最小时，求图2中二面角A-EC-B的大小．BD＝√(2)，∠ABD=90°，E是BD上的一个动点．现将该平行四边形沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，如图2所示．
（1）若F、G分别是AD、BC的中点，且AB∥平面EFG，求证：CD∥平面EFG；
（2）当图1中AE+EC最小时，求图2中二面角A-EC-B的大小．√(2)

2

2

Answer 1

（1）证明：∵AB∥平面EFG，平面ABD∩平面EFG=EF，∴AB∥EF．…（2分）
∵F是AD的中点．∴E是BD中点．
又∵G是BC的中点．∴GE∥CD．
∵CD⊄平面EFG，∴CD∥平面EFG．…（2分）
（2）由图1可知，当AE+EC最小时，E是BD的中点．
∵平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，AB⊥平面BCD．
故以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．
则A（0，0，1），C（1，√(2)，0），D（0，√(2)，0），E（0，(√(2))/(2)，0）；

EA

=（0，-(√(2))/(2)，0），

EC

=（0，(√(2))/(2)，0）．…（2分）

设平面AEC的法向量为

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问题解析

（1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

考点点评：

本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．

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√(2)

2

22，0），D（0，√(2)，0），E（0，(√(2))/(2)，0）；

EA

=（0，-(√(2))/(2)，0），

EC

=（0，(√(2))/(2)，0）．…（2分）

设平面AEC的法向量为

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问题解析

（1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

考点点评：

本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．

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√(2)

2

22，0），E（0，(√(2))/(2)，0）；

EA

=（0，-(√(2))/(2)，0），

EC

=（0，(√(2))/(2)，0）．…（2分）

设平面AEC的法向量为

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问题解析

（1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

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本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

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(√(2))/(2)√(2)√(2)√(2)

2

22222，0）；

EA

=（0，-(√(2))/(2)，0），

EC

=（0，(√(2))/(2)，0）．…（2分）

设平面AEC的法向量为

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问题解析

（1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

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EA

EAEAEA=（0，-(√(2))/(2)，0），

EC

=（0，(√(2))/(2)，0）．…（2分）

设平面AEC的法向量为

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问题解析

（1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

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本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

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(√(2))/(2)√(2)√(2)√(2)

2

22222，0），

EC

=（0，(√(2))/(2)，0）．…（2分）

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（1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

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本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

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EC

ECECEC=（0，(√(2))/(2)，0）．…（2分）

设平面AEC的法向量为

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（1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

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本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

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(√(2))/(2)√(2)√(2)√(2)

2

22222，0）．…（2分）

设平面AEC的法向量为

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（1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

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本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

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（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

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本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

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（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

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n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

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用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

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（1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

问题解析

问题解析

（1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

（1）通过AB∥平面EFG，证明AB∥EF，然后证明GE∥CD，即可求证CD∥平面EFG；
（2）以B为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，BD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面AEC的法向量为

n1

，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

n1

n1n1n11，平面BCE的一个法向量为

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

n2

n2n2n22，利用cos＜

n1

• 

n2

＞＝(n1•n2)/(|n1|•|n2|)即可求图2中二面角A-EC-B的大小．cos＜

n1

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n2n2n22|即可求图2中二面角A-EC-B的大小．

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本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

考点点评：

本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．

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本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

本题考点：

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

考点点评：

本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．

考点点评：

本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．

考点点评：

考点点评：

本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．

本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，判定定理与性质定理的应用，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力．

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