证明：若质数P≥5,且2p-1是质数,那么4p+5是合数.

Question

证明：若质数P≥5,且2p-1是质数,那么4p+5是合数.

Answer 1

证明：由题得p=3n±1
2p-1=6n+1或6n-3=3（n-2)
∴p=3n+1
4p+5=12n+4+5=12n+9=3(4n+3)为合数
【分析】从简单情形入手：
若p=5,则2p-1=9不是质数
若p=7,则2p-1=13是质数,此时4p+5=33是合数
若p=11,则2p-1=21不是质数
若p=13,则2p-1=25不是质数
若p=17,则2p-1=33不是质数
若p=19,则2p-1=37是质数,此时4p+5=75是合数
……
综合考虑前面出现的规律,发现4p+5还都是3的倍数
所以我们从被3除的余数入手分析.
【证明】p是大于等于5的质数,所以p被3除的余数只能为1或2
①余数是1,则2p-1被3除的余数也是1,可能成为质数,
此时4p+5=3（p+2）+（p-1）能够被3整除,所以是合数；
②余数是2,则2p-1被3除的余数是0,所以2p-1能被3整除,不可能可能成为质数
不符合要求
所以仅①才可能满足题目的条件,于是4p+5是合数