什么叫轮换整除数?

Question

什么叫轮换整除数?

Answer 1

轮环整除数
首先,看一个有趣的现象,如果我们将538461依次写在圆周上（图1）,那么无论我们从哪个数字开始作为首位数,以顺时针方向依次将各数字排列起来,可得到一个六位数,它们都可被76923整除.例如,将3作为首位数,可得384615,将4作为首位数,可得461538,它们均能被76923除尽,其商分别为5和6.本文将对这样的数字关系作一些探讨.设A=a1a2…an是一个n位自然数,我们称n个自然数A1=a1a2…an,A2=a2a3…ana1,A3=a3a4…ana1a2…,An=ana1a2…an-1是A的轮环数组,如果A的轮环数组中的n个数都可被一个大于1的自然数k整除,那么称A为关于k的n位轮环整除数,并记为k LH（A）.
首先看五位数,令A=a1a2a3a4a5.于是10A=a1×100000+a2a3a4a5×10
=99999a1+a2a3a4a1×10+a1
=9×41×271a1+a2a3a4a5a1.
由于10分别与9、41、271互质,从上式可知,a1a2a3a4a5与a2a3a4a5 a1,要么同时被99999的因数：9,41,123,369,271,813,2439整除,要么同时不被它们整除.类似地,从10 a2a3a4a05 a1 =99999a2+a3a4a5a1a2知a2a3a4a5a1与a3a4a5a1a2要么同时可被99999的各因数整除,要么同时不被它们整除,重复上述推导可见,一个五位数只要它是99999某因数倍数,则它的各个轮环数都是该因数的倍数,从而有 2439|LH（2439k）,k≤41：813|LH（813k）,k123：271|LH（271k）,K≤369……
例如∵2439×16=39024,∴2439|LH（39024）.
一般地,我们可从研究999……99的因数出发,来探讨n位轮环整除数的规律.记In=111……11,则99……99=9In.如果In是素数,那n位轮环整除数,仅有3k,9k,Ink三种情况,当n=3m时,In必定能被3,7,11,13整除,当n=2m时,In必能被11整除.只要对In的因数研究清楚,n位轮环整数的规律也就掌握了.
如果一个n位轮环整除数中,含有若干个0,那么它的轮环数中一定包括若干个位数小于n的数如41841|LH(2092050),2092050的轮环数包括下列三个六位数：209205,502092,92050.此时,我们可以把它们看成是关于41841的t位轮环整除数.特别地,我们有41841|LH(0041841),从而有41841|1004184,41841|4100418等.
图2是一个九位轮环整除数构成的图形,若以2为首位可截得一数271604938,这个数不仅以0为中心对称的每两数的和都是10,且可两两分段,使得相邻的两数的差都是5,这同九宫图中数字的布局非常相似（图3）.