（2014•许昌二模）将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M，连接BF与EG交于点P．（1）当点F与AD的中点重合时（如图1

Question

（2014•许昌二模）将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M，连接BF与EG交于点P．
（1）当点F与AD的中点重合时（如图1）：
①△AEF的边AE=______cm，EF=______cm，线段EG与BF的大小关系是EG______BF；
（填“＞”、“=”或“＜”）
②求△FDM的周长． 
（2）当点F在AD边上除点A、D外的任意位置时（如图2）：
③试问第（1）题中线段EG与BF的大小关系是否发生变化？请证明你的结论；
④当点F在何位置时，四边形AEGD的面积S最大？最大值是多少？

Answer 1

（1）①AE=3cm，EF=5cm；EG=BF，
设AE=x，则EF=8-x，AF=4，∠A=90°，4²+x²=（8-x）²，x=3，
∴AE=3cm，EF=5cm，EG=BF，
②如图1，∵∠MFE=90°，
∴∠DFM+∠AFE=90°，
又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，
∴△AEF∽△DFM，
∴(EF)/(FM)＝(AE)/(DF)＝(AF)/(DM)，
又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5，
∴(5)/(FM)＝(3)/(4)，FM＝(20)/(3)，(3)/(4)＝(4)/(DM)，DM＝(16)/(3)，
∴△FMD的周长=4+(20)/(3)+(16)/(3)=16；

（2）①EG=BF不会发生变化，
理由：证明：如图2，∵B、F关于GE对称，
∴BF⊥EG于P，过G作GK⊥AB于K，
∴∠FBE=∠KGE，
在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，
∴△AFB≌△KEG（AAS），
∴EG=BF，
②如图2，设AF=x，EF=8-AE，x²+AE²=（8-AE）²，
∴AE=4-(1)/(16)x2，
∵△AFB≌△KEG，
∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4-(1)/(16)x2+x，（10分）
S=(AE+DG)/(2)×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4-(1)/(16)x2+4-(1)/(16)x2+x）=−(1)/(2)x2+4x+32，
S=−(1)/(2)(x−4)2+40，（0＜x＜8）
当x=4，即F与AD的中点重合时，S_最大=40．（12分）