如图，半径为R的半球形玻璃体置于水平桌面上，半球的上表面水平，球面与桌面相切于A点．一细束单色光经球心O从空气中摄入玻璃体内（入射面即纸面），入射角为45°，出射光线射在桌面

Question

如图，半径为R的半球形玻璃体置于水平桌面上，半球的上表面水平，球面与桌面相切于A点．一细束单色光经球心O从空气中摄入玻璃体内（入射面即纸面）
，入射角为45°，出射光线射在桌面上B点处．测得AB之间的距离为(R)/(2)．现将入射光束在纸面内向左平移，求射入玻璃体的光线在球面上恰好发生全反射时，光束在上表面的入射点到O点的距离．不考虑光线在玻璃体内的多次反射．

Answer 1

当光线经球心O入射时，光路图如右上图所示．设玻璃的折射率为n，由折射定律有：
n=(sini)/(sinr)    ①
式中，入射角i=45°，γ为折射角．
△OAB为直角三角形，因此sinr=(AB)/(√(OA2+AB2))   ②
发生全反射时，临界角C满足：sinC=(1)/(n)    ③
在玻璃体球面上光线恰好发生全反射时，光路图如右下图所示．设此时光线入射点为E，折射光线射到玻璃体球面的D点．由题意有
∠EDO=C    ④
在∠EDO内，根据正弦定理有(OD)/(sin(90°-r))=(OE)/(sinC)   ⑤
联立以上各式并利用题给条件得OE=(√(2))/(2)R．
答：光束在上表面的入射点到O点的距离为(√(2))/(2)R．