设a是n阶实対称矩阵,a^2=a.证明存在正交矩阵t.使得t^-1at=diag(1,1.1,0..

Question

设a是n阶实対称矩阵,a^2=a.证明存在正交矩阵t.使得t^-1at=diag(1,1.
1,0..

Answer 1

首先实对称矩阵A,一定存在正交矩阵T,使得T^(-1)AT为对角阵,这是关于实对称矩阵的重要定理,证明书上都有.设B为对角阵,则B=T^(-1)AT,从而A=TBT^(-1),由A^2=A,得TBT^(-1)TBT^(-1)=TBT^(-1),即B^2=B,由于B为对角阵,因此可设B=diag{b1,b2,bn},则B^2=diag{b1^2,b2^2,bn^2},由B^2=B可知bi^2=bi,bi=0或1,即B=T^(-1)AT=diag{1,1,1,0,0,0}.