已知关于X的方程①(n-1)X2+mX+1=0有两个相等的实根,关于Y的方程②m2y2-2my-m2-2n2+3=0必有两个不相等的实根.若方程①的一个根的相反数恰好是方程②的一个根,求代数式m2n+12n的值.

Question

已知关于X的方程①(n-1)X2+mX+1=0有两个相等的实根,
关于Y的方程②m2y2-2my-m2-2n2+3=0必有两个不相等的实根.若方程①的一个根的相反数恰好是方程②的一个根,求代数式m2n+12n的值.

Answer 1

已知关于x的方程（n-1)x^2+mx+1=0有两相等实数根,
求证：关于y的方程(m^2)(y^2)-2my-m^2-2n^2+3=0
∵（n-1)x^2+mx+1=0有两相等实数根
∴Δ=m^2-4(n-1)=m^2-4n+4=0且n≠1
化简得m^2=4n-4
(∵n≠1；∴m≠0；n＞1)
对于方程(m^2)(y^2)-2my-m^2-2n^2+3=0
Δ=（2m)^2+4*(m^2)*(m^2+2n^2-3)
=(4m^2)*(1+m^2+2n^2-3)
=(4m^2)*[(1+(4n-4)+2n^2-3]=(4m^2)*(2n^2+4n-6)＞(4m^2)*(2+4-6)=0
(∵m≠0；n＞1)
∴必有两个不相等的实数根.
把m^2=4(n-1),n-1=m^2/4代入(1)方程得:m^2/4+m+1=0
(m/2 x+1)^2=0
得根是x=-2/m.
所以,方程(2)的一个根是y=2/m.
代入得:m^2*4/m^2-2m*2/m-m^2-2n^2+3=0
4-4-m^2-2*(1+m^2/4)^2+3=0
-m^2-2(1+m^2/2+m^4/16)+3=0
-m^2-2+m^2-m^4/8+3=0
m^4/8=1
m^2=2根号2
n=1+m^2/4=1+根号2/2
m^2n+12n=2根号2*(1+根号2/2)+12(1+根号2/2)=2根号2+2+12+6根号2=8根号2+14