设实函数f（x）=limt→x(sintsinx)xsint-sinx，讨论f（x）的连续性，并说明是否可在x=0处定义f（0）的值，使得f（x）在该点可导．

Question

设实函数f（x）=

lim

t→x

((sint)/(sinx))(x)/(sint-sinx)，讨论f（x）的连续性，并说明是否可在x=0处定义f（0）的值，使得f（x）在该点可导．

Answer 1

当x≠kπ（k为整数）时，f(x)=

lim

t→x

((sint)/(sinx))(x)/(sint-sinx)=

lim

t→x

[(1+(sint-sinx)/(sinx))(sinx)/(sint-sinx)](x)/(sinx)=e(x)/(sinx)．
{kπ|k∈Z，且k≠0}为f的第二类间断点，
而x=0为f的可去间断点，
故可定义f（0）=e，使得f（x）在x=0处连续．
利用导数的定义可得，此时，
f′(0)=

lim

x→0

(f(x)-f(0))/(x)=

lim

x→0

(e(x)/(sinx)-e)/(x)=

lim

x→0

e(x)/(sinx)(sinx-xcosx)/(sin2x)=e

lim

x→0

(xsinx)/(2sinxcosx)=0．
即：定义f（0）=e，可使f（x）在x=0处可导．