已知a＞b＞c,且a+b+c=0设x1,x2是ax^2+bx+c=0的两实根,则｜x2^2-x1^2｜的取值范围是多少

Question

已知a＞b＞c,且a+b+c=0设x1,x2是ax^2+bx+c=0的两实根,则｜x2^2-x1^2｜的取值范围是多少

Answer 1

由求根公式得到x1=(-b+√b^2-4ac)/2a ,x2=(-b-√b^2-4ac)/2a
｜x2^2-x1^2｜=｜(x1+x2)(x1-x2)｜带入上面公式
原式=-b√b^2-4ac/a^2————————式1
因为a+b+c=0 推出 b=-(a+c)带入式1
原式=｜(a+c)√[(a+c)^2-4ac]/a^2｜化简将根号下展开合并
原式=｜(a+c)√[(a-c)^2]/a^2｜
因为a>b>c所以a-c>0分子可直接开根号
原式=｜(a+c)(a-c)/a^2｜=｜a^2-c^2/a^2 ｜= ｜ 1-(c/a)^2｜————式2
依题意a+b+c=0 a>b>c 推出a>0
因为a>0 a>b>c-->a/a>b/a>c/a-->1>b/a a+b+c=0-->a/a+b/a+c/a=0-->c/a=-(1+b/a)———式3
当ab>0时b/a｜b/a｜