已知：二次函数y=（n－1）x2＋2mx＋1图象的顶点在x轴上．（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴

Question

已知：二次函数y=（n－1）x ² ＋2mx＋1图象的顶点在x轴上．

（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；

（2）是否存在 整数 m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；

（3）若y关于x的函数关系式为y=(n－2)x ² －m ² x－2n＋2              

j求该函数必过的定点坐标；

k探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值.

Answer 1

（1）n-1=m2，n=m2+1，…………………………………2分 因为n-1≠0  ，且m2≥0     所以n-1>0，图像开口向上…………………………1分 （2）………………………………1分 要使为整数，因为m，n为整数，所以只要m=±1，此时n=2 所以存在m=±1， n=2，符合要求。………………2分 （3）j y=（n－2）x2－m2x－2n＋2=n(x2－x－2)－2 x2+ x＋2 令x2－x－2=0，得x=-1或2，所以必过的定点为(－1，－1)，（2 －4），………2分 k若n=2，则y=－x－2，直线与坐标轴有两个交点；    …………………………1分 若n≠2，b2－4ac =9n2－26n＋17 当抛物线过原点时，n=1，此时n-1=0 不符合题意，应舍去  …………………1分 当抛物线不过原点时，令9n2－26n＋17=0，得n=或n=1（舍去），                                                 检验知，当n=2或时，符合题意…