定义F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），令函数f（x）=F（1，log2（x2-4x+9））的图象为曲线C，曲线C与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O向曲线C作切线，切点为B（n，t）（n＞0），设曲线C在

Question

定义F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），令函数f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））的图象为曲线C，曲线C与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O向曲线C作切线，切点为B（n，t）（n＞0），设曲线C在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值．

Answer 1

∵F（x，y）=（1+x）^y
∴f（x）=F（1，log₂（x²-4x+9））=2^log_2（x^2_-4x+9）=x²-4x+9，
故A（0，9），
又过坐标原点O向曲线C作切线，
切点为B（n，t）（n＞0），f′（x）=2x-4．
∴

t＝n2−4n+9

(t)/(n)＝2n−4

，
解得B（3，6），
∴S＝

∫

3 0

(x2−4x+9−2x)dx＝((x3)/(3)−3x29x)

|

3 0

＝9．