（2011•肇庆一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，ÐBAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2a，M，N分别为PC、PB的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：PB⊥DM；（3）求四

Question

（2011•肇庆一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，ÐBAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2a，M，N分别为PC、PB的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：PB⊥DM；
（3）求四棱锥P-ADMN的体积．

Answer 1

证明：（1）因为M、N分别为PC、PB的中点，
所以MN∥BC，且MN＝(1)/(2)BC＝(a)/(2)．（1分）
又因为AD∥BC，所以MN∥AD．（2分）
又AD⊥平面PAD，MNË平面PAD，所以MN∥平面PAD．（4分）
（2）因为AN为等腰DABP底边PB上的中线，所以AN⊥PB．（5分）
因为PA⊥平面ABCD，ADÌ平面ABCD，所以AD⊥PA．
又因为AD⊥AB，且AB∩AP=A，所以AD⊥平面PAB．
又PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB．（6分）
因为AN⊥PB，AD⊥PB，且ANÇAD=A，所以PB⊥平面ADMN．（7分）
又DM⊂平面ADMN，所以PB⊥DM．（8分）
（3）由（1）和（2）可得四边形ADMN为直角梯形，且∠DAN=90°，
AD=2a，MN＝(a)/(2)，AN＝√(2)a，所以S直角梯形ADMN＝(5√(2))/(4)a2．（9分）
由（2）PB⊥平面ADMN，得PN为四棱锥P-ADMN的高，且PN＝√(2)a，（10分）
所以VP−ADMN＝(1)/(3)PN•S直角梯形ADMN＝(5)/(6)a3．（12分）