已知函数f(x)=cos(2x+π3)+2cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的周期及递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[-π3，π3]上值域．

Question

已知函数 f(x)=cos(2x+(π)/(3) )+2co s 2 x ．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期及递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在 [-(π)/(3) ，(π)/(3) ] 上值域．

Answer 1

函数 f(x)=cos(2x+(π)/(3) )+2co s 2 x
=cos2xcos (π)/(3) -sin2xsin (π)/(3) +cos2x+1
= (3)/(2) cos2x-(3)/(2) sin2x+1
=1-

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sin（2x- (π)/(3) ）．
（Ⅰ）函数f（x）的周期T=π，
由∵ (π)/(2) +2kπ≤2x- (π)/(3) ≤ (3π)/(2) +2kπ，k∈Z
∴ (5π)/(12) +kπ≤x≤ (11π)/(12) +kπ，k∈Z
所以y=1-

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sin（2x- (π)/(3) ）的单调增区间是[ (5π)/(12) +kπ， (11π)/(12) +kπ]；
（Ⅱ）∵x∈ [-(π)/(3) ，(π)/(3) ] ，∴2x -(π)/(3) ∈[ -π，(π)/(3) ]，
∴-1≤sin（2x- (π)/(3) ）≤ (3)/(2) ，
函数f（x）在 [-(π)/(3) ，(π)/(3) ] 上值域为： [-(1)/(2) ，

3

+1] ．