如图所示是建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”。工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动将夯杆从深为h的坑中提上来，当两个滚轮彼此分开时，夯杆被释放，最后夯杆在

Question

如图所示是建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”。工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动将夯杆从深为h的坑中提上来，当两个滚轮彼此分开时，夯杆被释放，最后夯杆在自身重力的作用下落回深坑，夯实坑底；然后两个滚轮再次压紧，夯杆再次被提上来，如此周而复始工作。已知两个滚轮边缘的线速度v恒为4m/s，每个滚轮对夯杆的正压力F _N =2×10 ⁴ N，滚轮和夯杆间的动摩擦因数μ = 0.3 ，夯杆的质量m =1×10 ³ kg，坑深h =6.4m 。假定在打夯的过程中坑的深度变化不大，且夯的低端升到坑口时，速度正好为零。取g =10m/s ² 。试求：

（1）夯杆上升的过程中，被滚轮释放时它的速度为多大？

此时夯杆低端离坑底多高？

（2）每个打夯周期中，电动机对夯杆所做的功为多少？

（3）每个打夯周期中，由于摩擦产生的热量。

（4）打夯周期T.

Answer 1

（1）5.6 m （2）6.4×104J （3）3.9s   解析:（1）分析夯杆，由牛顿第二定律 2μFN –mg =ma         当夯杆与滚轮速度相同时，v = at                     此时夯杆上升的高度h1 = vt/2 = 4m                当夯杆以v = 4m/s 初速度竖直上抛时， 上升的高度为h2 = v2/2g = 0.8m ，h 1 + h2 = 4.8 m < h     因此，夯杆先匀加速上升，后匀速上升，最后竖直上抛。 匀速上升的高度为h3 = h - h 1- h2  = 1.6 m                夯杆上升的过程中，被滚轮释放时它的速度为4m/s 此时夯杆低端离坑底 Δh = h – h2 = 5.6 m               (2) 由功能关系，每个打夯周期中，电动机对夯杆所做的功  w = mgh =  6.4×104J  (3) 夯杆先匀加速上升的时间 t= v/a = 2s             滚轮的轮缘在相同时间内通过的路程为s   S = vt = 8m     相对夯杆的路程为Δs = s – h1 = 4m               产生的热量Q = 2μFN Δs = 4.8×104J                       （4）夯杆先匀加速上升的时间 t1 = 2 s 匀速上升的时间 t2 = h3 /v = 0.4s                   被滚轮释放后到达最高点的时间为 t3 = v/g = 0.4s       自最高点自由下落到坑底的时间为 t 4 由h = gt42 /2   t4 = 1.1 s                      打夯周期T = t1 + t2 + t3+t4 = 3.9s