如图△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°．（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；（2）探索DC与BE的夹角的大小；（3）求证：FA平分∠DFE；（4）取BC的中点M，连MA，探讨MA与

Question

如图△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°．

（1）判断CD与BE有怎样的数量关系；
（2）探索DC与BE的夹角的大小；
（3）求证：FA平分∠DFE；
（4）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的数量关系和位置关系．

Answer 1

（1）∵△ABD和△ACE为等腰直角三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△ABE中，

AD=AB

∠DAC=∠EAB

AC=AE

，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；
（2）设BE交AC于点R，如图1，

由（1）可知∠AEB=∠ACD，且∠ARE=∠FRC，
∴∠AER+∠ARE=∠FCR+∠FRC，
∴∠EFC=∠EAR=90°，
即DC和BE的夹角为90°；
（3）证明：如图2，分别过A作AS⊥DC，AG⊥BE，

由（1）可知∠ADS=∠ABG，
在△ADS和△ABG中，

∠ADS=∠ABG

∠ASD=∠AGB

AD=AB

，
∴△ADS≌△ABG（AAS），
∴AS=AG，
∴FA平分∠DFE；
（4）过B作BN∥AC，使得BN=AC，则四边形ABNC为平行四边形，延长MA交DE于H，

则BN=AC，
∵AC=AE，
∴BN=AE，
∵∠BAC+∠DAE=180°，∠BAC+∠ABN=180°，
∴∠DAE=∠ABN，
在△DAE和△ABN中，

AD=AB

∠DAE=∠ABN

AE=BN

，
∴△DAE≌△ABN（SAS），
∴∠BAN=∠ADH，AN=DE，
∴DE=2AM，
∵∠DAH+∠BAN=90°，
∴∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠AHD=90°，即AM⊥DE．