讨论方程e^x=ax^2(a>0)的实根个数及其所在区间.

Question

讨论方程e^x=ax^2(a>0)的实根个数及其所在区间.

Answer 1

令f(x)=e^x,g(x)=ax^2,h(x)=f(x)-g(x).显然上述三函数均连续.易得h(-∞)＜0,h(0)＞0,因此必存在一点x=x0,使h(xo)=o,即：f(xo)=e^xo=g(xo)=axo^2 即：e^x=ax^2在(-∞,0）上有一实根.因e^x=ax^2,将方程右边改写左边的形式,当x＞0时,有x=lna+2lnx (指数相等）令u(x)=x-lna-2lnx 有u'(x)=1-2/x令u'(x1)=o 可得x1=2 并有x＜x1时,u'(x)＜0; x＞x1时,u'(x)＞0.由此可知x=x1为极小值.因此,为使方程有根,必须h(x1)≤0,即：a≥e^2/4 且u(+∞)＞0 用洛必塔法则易证出x大于lnx,所以u(+∞)＞0成立.综上所述：0＜a＜e^2/4时,方程只有1实根；a=e^2/4时,有2实根；a＞e^2/4时,有3实根.