高中数学圆、函数问题若点P在直线x=my+3=0上,过点P的直线l与圆（x-5）^2+y^2=16,只有一个公共点M,且|PM|的最小值4,则m=?

Question

高中数学圆、函数 问题
若点P在直线x=my+3=0上,过点P的直线l与圆（x-5）^2 +y^2=16,只有一个公共点M,
且|PM|的最小值4,则m=?

Answer 1

(x-5)^2 +y^2=16的圆心为(5,0),半径为4.
由题意直线l与圆C只有一个公共点,说明直线l是圆C的切线,由于|PM|²=|PC|²-|CM|²=|PC|²-16,所以要|PM|最小,只需|PC|最小,
又C(5,0)为定点,则|PC|的最小值为点C到直线x+my+3=0的距离,即d=8/(m²+1)^(1/2) ,|PM|的最小值为 4,则|PC|²的最小值为32,则8/(m²+1)^(1/2)=4√2,解得m=±1.