三等分任一个角可以吗?

Question

三等分任一个角可以吗?

Answer 1

尺规作图不可能三等分任意角的.这是经数学证明了的!三等分角问题是二千四百年前,古希腊人提出的几何三大作图问题之一,即 用圆规与直尺把一任意角三等分.问题的难处在于作图使用工具的限制.古希腊人要求几何作图只许使用直尺 （没有刻度,只能作直线的尺）和圆规.这问题曾吸引着许多人去研究,但都无一成功.1837年凡齐尔（ 1814－1848）运用代数方法证明了,这是一个标尺作图的不可能问题.
在研究「三等分角」的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线.人们还发现,只要放弃「尺 规作图」的戒律,三等分角并不是一个很难的问题.古希腊数学家阿基米得（前287－前212）发现只要 在直尺上固定一点,问题就可解决了.现简介其法如下：在直尺边缘上添加一点P,命尺端为O.设所要三等分的角是∠ACB,以C为圆心,OP为半径作半圆交角边于A,B；使O点在CA延在线移 动,P点在圆周上移动,当尺通过B时,连OPB.由于OP＝PC＝CB,所以∠COB＝∠AC B／3.这里使用的工具已不限于标尺,而且作图方法也与公设不合.
但是利用别的工具,那是有很多方法的,这里介绍:
阿基米德直尺三分角法
作图：
1．设任意锐角AOB；
2．以O为圆心,作圆O,∠AOB与圆相交于A,B点；
3．延长BO,到相当远处；
4．将一直尺与圆O相交,一点为A,另一点为P；
5．同时,直尺和BO的延长线交于C点；
6．适当的调整直尺的位置,使PC=AO；
7．连AC,则∠ACB=（1/3）∠AOB.
证明：可利用三角形外角等于不相邻的两内角和的关系来证.
另有一机械作图的方法可以三等分角,简介如下：
如右图：ABCD为一正方形,设AB均匀向CD平行移动,AD以D为中心依顺时针方向转到DC,若AB抵达DC时DA也恰好抵达DC,则他们交点的轨迹AO即曲线称为三分线.
令A是AC弧上的任一点,我们要三等分 ADC,设DA与三分线AO交于R,过R作AB之并行线交AD、BC于A、B,令T、U是AD之三等分点,过T、U作AB之并行线交三分线AO于V、W,则DV、DW必将 ADC三等分.