（2013•苍梧县一模）如图，抛物线y＝−38x2−34x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积

Question

（2013•苍梧县一模）如图，抛物线y＝−(3)/(8)x2−(3)/(4)x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）在过点E（4，0）的真线上是否存在这样的点M，使得∠AMB为直角？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）令y=0，则-(3)/(8)x²-(3)/(4)x+3=0，
整理得，x²+2x-8=0，
解得x₁=-4，x₂=2，
∴点A（-4，0），B（2，0）；

（2）令x=0，则y=3，
所以，点C的坐标为（0，3），
又∵AB=2-（-4）=2+4=6，
∴S_△ABC=(1)/(2)×6×3=9，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

−4k+b＝0

b＝3

，
解得

k＝(3)/(4)

b＝3

，
所以，直线AC的解析式为y=(3)/(4)x+3，
抛物线的对称轴为直线x=-(−(3)/(4))/(2×(−(3)/(8)))=-1，
所以，x=-1时，y=（-1）×(3)/(4)+3=(9)/(4)，
设对称轴与直线AC相交于H，
则点H的坐标为（-1，(9)/(4)），
∵△ACD的面积等于△ACB的面积，
∴S_△ACD=S_△ADH+S_△CDH，
=(1)/(2)DH×4=9，
解得DH=(9)/(2)，
点D在AC的上方时，(9)/(2)+(9)/(4)=(27)/(4)，
此时点D的坐标为（-1，(27)/(4)），
点D在AC的下方时，(9)/(4)-(9)/(2)=-(9)/(4)，
此时，点D的坐标为（-1，-(9)/(4)），
综上所述，△ACD的面积等于△ACB的面积时，点D的坐标为（-1，(27)/(4)）或（-1，-(9)/(4)）；

（3）根据直径所对的圆周角是直角，以AB为直径作⊙F，
则过点E的直线与⊙F的切点即为所求的点M，
如图，连接FM，过点M作MN⊥x轴于N，
∵A（-4，0），B（2，0），E（4，0），
∴点F（-1，0），
FM=(1)/(2)×6=3，EF=4+1=5，
根据勾股定理，ME=√(EF2−FM2)=√(52−32)=4，
易得△FMN∽△FEM，
∴(MN)/(ME)=(FN)/(FM)=(FM)/(EF)，
即(MN)/(4)=(FN)/(3)=(3)/(5)，
解得MN=(12)/(5)，FN=(9)/(5)，
∴ON=FN-OF=(9)/(5)-1=(4)/(5)，
∴点M在x轴上方时，点M的坐标为（(4)/(5)，(12)/(5)），
点M在x轴下方时，点M的坐标为（(4)/(5)，-(12)/(5)），
综上所述，点M的坐标为（(4)/(5)，(12)/(5)）或（(4)/(5)，-(12)/(5)）．