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已知△ABC≌△ADE,∠BAC=∠DAE=90°.(1)如图1,判断CE和BD位置关系,并说明理由.(2)如图2,在图1的基础上,将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置,连接BE′、DC′,过
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已知△ABC≌△ADE,∠BAC=∠DAE=90°.
(1)如图1,判断CE和BD位置关系,并说明理由.
(2)如图2,在图1的基础上,将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置,连接BE′、DC′,过点A作AN⊥BE′于点N,反向延长AN交DC′于点M.求
的值.

(1)如图1,判断CE和BD位置关系,并说明理由.
(2)如图2,在图1的基础上,将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置,连接BE′、DC′,过点A作AN⊥BE′于点N,反向延长AN交DC′于点M.求
| DM |
| DC′ |

▼优质解答
答案和解析
(1)CE⊥BD.如图1,延长CE交BD于M,设AB与EM交于点F.

∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠CAE=∠BAD.
又∵△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,AB=AD,
∴∠ACE=
,∠ABD=
,
∴∠ACE=∠ABD.
又∵∠AFC=∠BFM,∠AFC+∠ACE=90°,
∴∠ABD+∠BFM=90°,
∴∠BMC=90°,
∴CE⊥BD.
(2)如图2,过C′作C′G⊥AM于G,过D作DH⊥AM交延长线于点H.

∵∠E′NA=∠AGC′=90°,
∴∠NE′A+∠NAE′=90°,∠NAE′+∠C′AG=90°,
∴∠NE′A=∠C′AG,
∵AE′=AC′,
在△ANE′和△C′GA中,
,
∴△ANE′≌△C′GA(AAS),
∴AN=C′G.
同理可证△BNA≌△AHD,AN=DH.
∴C′G=DH.
在△C′GM与△DHM中,
,
∴△C′GM≌△DHM(AAS),
∴C′M=DM,
∴
=
.

∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠CAE=∠BAD.
又∵△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,AB=AD,
∴∠ACE=
| 180°−∠CAE |
| 2 |
| 180°−∠BAD |
| 2 |
∴∠ACE=∠ABD.
又∵∠AFC=∠BFM,∠AFC+∠ACE=90°,
∴∠ABD+∠BFM=90°,
∴∠BMC=90°,
∴CE⊥BD.
(2)如图2,过C′作C′G⊥AM于G,过D作DH⊥AM交延长线于点H.

∵∠E′NA=∠AGC′=90°,
∴∠NE′A+∠NAE′=90°,∠NAE′+∠C′AG=90°,
∴∠NE′A=∠C′AG,
∵AE′=AC′,
在△ANE′和△C′GA中,
|
∴△ANE′≌△C′GA(AAS),
∴AN=C′G.
同理可证△BNA≌△AHD,AN=DH.
∴C′G=DH.
在△C′GM与△DHM中,
|
∴△C′GM≌△DHM(AAS),
∴C′M=DM,
∴
| DM |
| DC′ |
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