从山脚下向坡度为30°的山坡上投射一个小球，小球的初速度v0=10m/s．（1）当投射角（初速度与水平面夹角）为45°时，小球在山坡上的射程是多大？（2）当投射角是多大时，小球在山坡上的

Question

从山脚下向坡度为30°的山坡上投射一个小球，小球的初速度v₀=10m/s．
（1）当投射角（初速度与水平面夹角）为45°时，小球在山坡上的射程是多大？
（2）当投射角是多大时，小球在山坡上的射程最大，最大射程是多少？

Answer 1

设水平位移为x，竖直高度为y，由题意得：
（1）tan30°=(y)/(x)=(v0sin45°t−(gt2)/(2))/(v0cos45°t)
代入数据解得：t=√(2)−(√(6))/(15)s
故y=v0sin45°t−(gt2)/(2)=10×(√(2))/(2)×(√(2)−(√(6))/(15))−(1)/(2)×10×(√(2)−(√(6))/(15))2m=(10√(3)−2)/(15)m
由几何关系得，位移s=2y=(20√(3)−4)/(15)m
（2）由运动分解知，(y)/(x)＝(v0sinθt−(gt2)/(2))/(v0cosθt)＝tan30°
代入数据整理得：√(3)(10sinθ−5t)＝10cosθ①
而最终落到斜面上时，有射程s=2y=2（v0sinθt−(1)/(2)×gt2）②
而由y=v₀sinθt-(1)/(2)×gt²=10sinθt-5t²，③(( ))/(( ))
当t=sinθ时，y有最大值④
由①②③④得：θ=arctan(2√(3))/(3)，s=10sin2(arctan(2√(3))/(3))
答：（1）当投射角（初速度与水平面夹角）为45°时，小球在山坡上的射程是(20√(3)−4)/(15)m
（2）当投射角是arctan(2√(3))/(3)时，小球在山坡上的射程最大，最大射程是10sin2(arctan(2√(3))/(3))