切蛋糕.（请详解）小明过生日时,用一把长刀去分切蛋糕,每一次切下去保证在所有切法中所分的蛋糕块数最多：切的次数：1234所分块数：24711（1）设所切次数为n,当n=5时,所分蛋糕块数是

Question

切蛋糕.（请详解）
小明过生日时,用一把长刀去分切蛋糕,每一次切下去保证在所有切法中所分的蛋糕块数最多：
切的次数：1 2 3 4
所分块数：2 4 7 11
（1）设所切次数为n,当n=5时,所分蛋糕块数是（ ）；
当n=6时,所分蛋糕块数是（ ）；
（2）这样切100次,所分蛋糕块数是（ ）.

Answer 1

(1)就是要求通项an啦.设它满足通项an,n=1时（切一 下）,a1=2(蛋糕为2块）,
a1=2
a2=4
a3=7
a4=11
观察可知,an=a(n-1)+n.
即切第n下时蛋糕被分为 n+前一次切的块数.
第五次a5=a4+5=11+5=16.
第六次a6=a5+6=22.
(2)a1=2
a2=a1+2
a3=a2+3
...
an=a(n-1)+3
这n个等式一加起来,就成了
a1+a2+a3+..+a(n-1)+an=2+a1+2+a2+3+a3+4+...a(n-1)+n
两边可以约去a1+a2+a3+...+a(n-1).
剩下an=2+2+3+4+...+n=1+n(n+1)/2 (这个公式应该学过吧?等差数列求和公式）
a100=1+100(100+1)/2=5051
所以切100次得5051块.
(想起小明也难得切撒.)