圆O的半径OA,OB,且OA⊥OB,连结AB,现在圆O上找一点C,使OA²+AB²=BC²,则角OAC的度数为?答案是15°或75°,最好是画出来、谢谢了、

Question

圆O的半径OA,OB,且OA⊥OB,连结AB,现在圆O上找一点C,使OA²+AB²=BC²,则角OAC的度数为?
答案是15°或75°,最好是画出来、谢谢了、

Answer 1

连接OC,过O作OD⊥BC于D,设圆的半径为R
∵圆的半径为R
∴OA＝OB＝R
∵OA⊥OB
∴AB²＝OA²+OB²＝2R²
∵OA²+AB²＝BC²
∴R²+2R²＝BC²
∴BC²＝3R²
∴BC＝√3R
∵OC＝OB,OD⊥BC
∴CD＝BD＝BC/2＝√3R/2, ∠BOD＝∠COD＝∠BOC/2
∴sin∠COD=CD/OC=(√3R/2)/R=√3/2
∴∠COD=60
∴∠BOC=2∠COD=120
∵OA⊥OB
∴∠AOB=90
至此,分两种情况：
第一种,C在靠A一侧
∠AOC=∠BOC-∠AOB=120-90=30
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA=(180-∠AOC)/2=(180-30)/2=75
第二种,C在靠B一侧
∠AOC=∠BOC+AOB=120+90＝210
∵210大于180,则
∴∠AOC＝360-210＝150
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA=(180-∠AOC)/2=(180-150)/2＝15