如果定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．”例如：如图1所示，若PC=PB，则称点P为△ABC的准外心．（1）观察并思考，△ABC的准外心有个．（2）如图2，

Question

如果定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．”例如：如图1所示，若PC=PB，则称点P为△ABC的准外心． 

（1）观察并思考，△ABC的准外心有______个．
（2）如图2，△ABC是等边三角形，CD⊥AB，准外心点P在高CD上，且PD=(1)/(2)AB，在图中画出点P点，求∠APB的度数．
（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心点P在AC边上，在图中画出P点，并求PA的长．

Answer 1

（1）∵到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，
∴△ABC的准外心是：AB，BC，AC的垂直平分线上的点．
∴△ABC的准外心有无数个．
故答案为：无数；

（2）①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，
∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD=(√(3))/(3)DB=(√(3))/(6)AB，
与已知PD=(1)/(2)AB矛盾，∴PB≠PC，
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD=(1)/(2)AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，
∴∠APB=90°；

（3）∵BC=5，AB=3，
∴AC=√(BC2−AB2)=4，
①若PB=PC，设PA=x，则x²+3²=（4-x）²，
∴x=(7)/(8)，即PA=(7)/(8)，
②若PA=PC，则PA=2，
③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或(7)/(8)．