设A,B两点在椭圆X2／4＋Y2=1上,点M（1,1／2）是AB的中点（下面还有）（1）求直线AB的方程（2）若该椭圆上的点C的横坐标为－根号3,求三角形ABC的面积

Question

设A,B两点在椭圆X2／4＋Y2=1上,点M（1,1／2）是AB的中点 （下面还有）
（1）求直线AB的方程 （2）若该椭圆上的点C 的横坐标为－根号3,求三角形ABC的面积

Answer 1

（1） 设A(a, b), B(c, d)
a²/4 + b² = 1 (1)
c²/4 + d² = 1 (2)
M是AB的中点,1 = (a+c)/2, a + c = 2 (3)
1/2 = (b + d)/2, b + d = 1 (4)
(2)-(1):
(c² - a²)/4 + (d² - b²) = 0
(c+a)(c-a)/4 + (d+b)(d-b) = 0
2(c-a)/4 + 1*(d-b) = 0
AB的斜率k = (d-b)/(c-a) = -1/2
AB的方程： y - 1/2 = (-1/2)(x -1)
y = 1 - x/2
x +　2y -2 = 0 (5)
（2）
联立(5)和椭圆的方程, 可得A(2, 0), B(0, 1), 这里次序不重要.
|AB| = √5
C的横坐标为-√3: 3/4 + y² = 1, y = 1/2或y = -1/2
(i) C(-√3, 1/2)
C与AB的距离h = |-√3 +2*1/2 -2|/√(1+4) = (√3+1)/√5
ABC的面积= (1/2)|AB|h = (1/2)*√5*(√3+1)/√5 = (√3+1)/2
(ii)
C(-√3, 1/2)
C与AB的距离h = |-√3 +2*(-1/2) -2|/√(1+4) = (√3+3)/√5
ABC的面积= (1/2)|AB|h = (1/2)*√5*(√3+3)/√5 = (√3+3)/2