在如图甲所示的空间内，存在若垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B＝2πmq．一倾角为θ、长度足够长的光滑绝缘斜面放置在此空间．斜面上有一质量为m，带电量为-q的小球，从t=

Question

在如图甲所示的空间内，存在若垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B＝(2πm)/(q)．一倾角为θ、长度足够长的光滑绝缘斜面放置在此空间．斜面上有一质量为m，带电量为-q的小球，从t=0时刻由静止开始沿斜面下滑，设第5s内小球不会离开斜面，在竖直方向上存在交替变化的匀强电场（取竖直向上为正）．如图乙所示，电场大小E0＝(mg)/(q)，重力加速度为g．求：
（1）在5s内合外力对小球做的功及小球电势能变化量？
（2）若第19s内小球没有离开斜面，角θ应满足什么条件？

Answer 1

设第一秒内小球在斜面上运动的加速度为a，
由牛顿第二定律得：（mg+qE）sinθ=ma…①
第一秒末的速度为：v=at₁… ②
在第二秒内：qE₀=mg…③
所以小球将离开斜面在上方做匀速圆周运动，则：
由向心力公式得：qvB=m(v2)/(R)…④
圆周运动的周期为：T＝(2πm)/(qB)＝1s…⑤
由题图可知，小球在奇数秒内沿斜面做匀加速运动，在偶数秒内离开斜面做完整的圆周运动．所以，第五秒末的速度为：v₅=a（t₁+t₃+t₅）=6g sinθ… ⑥
由动能定律得：W＝(1)/(2)m

v

2 5

＝(1)/(2)×m×(6gsinθ)2＝18mg2sin2θ…⑦
由于洛伦兹力不做功，故小球在5s内沿斜面通过的位移：x＝(1)/(2)a(3T)2
电场力做功：W_电=E₀qx•sinθ
代入数据解得：W电＝9mg2sin2θ
即电场力做正功，电势能减小，减少量为9mg²sin²θ
（2）第19秒末的速度：v₁₉=a（t₁+t₃+t₅+t₄+…+t₁₉）=20g sinθ…⑧
小球未离开斜面的条件是：
qv₁₉B≤（mg+qE₀）cosθ…⑨
所以：θ≤arctan(1)/(20π)
答：（1）在5s内合外力对小球做的功为18mg²sin²θ，小球电势能变化量为9mg²sin²θ；
（2）若第19s内小球没有离开斜面，角θ应满足θ≤arctan(1)/(20π)．