若点P（a，b）在函数y=-x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（）A.2B.2C.22D.8

Question

若点P（a，b）在函数y=-x²+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为（　　）
A. √(2)
B. 2
C. 2√(2)
D. 8

Answer 1

设直线y=x+m与曲线y=-x²+3lnx相切于P（x₀，y₀），
由函数y=-x²+3lnx，∴y′＝−2x+(3)/(x)，
令−2x0+(3)/(x0)＝1，又x₀＞0，解得x₀=1．
∴y₀=-1+3ln1=-1，
可得切点P（1，-1）．
代入-1=1+m，解得m=-2．
可得与直线y=x+2平行且与曲线y=-x²+3lnx相切的直线y=x-2．
而两条平行线y=x+2与y=x-2的距离d=(|−2−2|)/(√(2))=2√(2)．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值=(2√(2))2=8．
故选：D．