已知函数f(x)=a^x,的图像过点（1,12）,且点（n-1,an/n^2)n为正整数在f(x)图像上,1.求an2令bn=a(n+1)-1/2an.入手骨裂bn的前n项和为sn,求证sn

Question

已知函数f(x)=a^x,的图像过点（1,12）,且点（n-1,an/n^2)n为正整数在f(x)图像上,
1.求an 2令bn=a(n+1)-1/2an.入手骨裂bn的前n项和为sn,求证sn

Answer 1

图像过点是不是：（1,1/2）?
将(1,1/2)代入函数方程得：
1/2=a^1
a=1/2
f(x)=1/2^x
an/n^2=1/2^(n-1)
an=n^2/2^(n-1)
bn=(n+1)^2/2^n-1/2n^2/2^(n-1)=[(n+1)^2-n^2]/2^n=(2n+1)/2^n
Sn=3/2+5/2^2+7/2^3+...+(2n+1)/2^n
1/2Sn=3/2^2+5/2^3+7/2^4+...+(2n+1)/2^(n+1)
Sn-1/2Sn=3/2+2*(1/2^2+1/2^3+...+1/2^n)-(2n+1)/2^(n+1)
1/2Sn=1/2+[1+1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)]-(2n+1)/2^(n+1)=1/2+2-1/2^n-(2n+1)/2^(n+1)
Sn=5-(2n+3)/2^n
∵(2n+3)/2^n>0
∴ Sn